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微積分前置知識1——部分分數分解經典公式

部分分數分解經典公式1:

$$ \frac{cx+d}{(x+a)(x+b)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}$$

部分分數分解經典公式2:

$$ \frac{bx+c}{(x+a)^2}=\frac{A}{(x+a)^2}+\frac{B}{x+a}$$

部分分數分解經典公式3:

$$ \frac{dx^2+ex+f}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$$

 

公式1演算:

$$ \frac{cx+d}{(x+a)(x+b)}$$

$$=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}$$

$$=\frac{A(x+b)+B(x+a)}{(x+a)(x+b)}$$

$$=\frac{Ax+Ab+Bx+Ba}{(x+a)(x+b)}$$

$$=\frac{(A+B)x+Ab+Ba}{(x+a)(x+b)}$$

結論:

$$\begin{cases}A+B=c\\Ab+Ba=d\end{cases}$$

換句話説,你可以一看到\(\frac{cx+d}{(x+a)(x+b)}\)的組合,直接聯想c=A+B,d=Ab+Ba,省去計算。

 

公式2演算:

$$ \frac{bx+c}{(x+a)^2}$$

$$=\frac{A}{(x+a)^2}+\frac{B}{x+a}$$

$$=\frac{A}{(x+a)^2}+\frac{B(x+a)}{(x+a)^2}$$

$$=\frac{A+B(x+a)}{(x+a)^2}$$

$$=\frac{Bx+A+Ba}{(x+a)^2}$$

結論:

$$\begin{cases}B=b\\A+Ba=c\end{cases}$$

一看到\(\frac{bx+c}{(x+a)^2}\),直接聯想b=B,c=A+Ba。

 

公式3演算:

$$ \frac{dx^2+ex+f}{(x+a)(x^2+bx+c)}$$

$$=\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$$

$$=\frac{Ax^2+Abx+Ac+Bx^2+Cx+Bax+Ca}{x+a}$$

$$=\frac{(A+B)x^2+(Ab+Ba+C)x+Ac+Ca}{x+a}$$

結論:

$$\begin{cases}A+B=d\\Ab+Ba+C=e\\Ac+Ca=f\end{cases}$$

一看到\(\frac{dx^2+ex+f}{(x+a)(x^2+bx+c)}\),直接聯想d=A+B,e=Ab+Ba+C,f=Ac+Ca。

This article was last edited at 2021-07-16 12:12:30

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