微積分前置知識1——部分分數分解經典公式
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部分分數分解經典公式1：
$$ \frac{cx+d}{(x+a)(x+b)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}$$
部分分數分解經典公式2：
$$ \frac{bx+c}{(x+a)^2}=\frac{A}{(x+a)^2}+\frac{B}{x+a}$$
部分分數分解經典公式3：
$$ \frac{dx^2+ex+f}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$$
公式1演算：
$$ \frac{cx+d}{(x+a)(x+b)}$$
$$=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}$$
$$=\frac{A(x+b)+B(x+a)}{(x+a)(x+b)}$$
$$=\frac{Ax+Ab+Bx+Ba}{(x+a)(x+b)}$$
$$=\frac{(A+B)x+Ab+Ba}{(x+a)(x+b)}$$
結論：
$$\begin{cases}A+B=c\\Ab+Ba=d\end{cases}$$
換句話説，你可以一看到\(\frac{cx+d}{(x+a)(x+b)}\)的組合，直接聯想c=A+B，d=Ab+Ba，省去計算。
公式2演算：
$$ \frac{bx+c}{(x+a)^2}$$
$$=\frac{A}{(x+a)^2}+\frac{B}{x+a}$$
$$=\frac{A}{(x+a)^2}+\frac{B(x+a)}{(x+a)^2}$$
$$=\frac{A+B(x+a)}{(x+a)^2}$$
$$=\frac{Bx+A+Ba}{(x+a)^2}$$
結論：
$$\begin{cases}B=b\\A+Ba=c\end{cases}$$
一看到\(\frac{bx+c}{(x+a)^2}\)，直接聯想b=B，c=A+Ba。
公式3演算：
$$ \frac{dx^2+ex+f}{(x+a)(x^2+bx+c)}$$
$$=\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$$
$$=\frac{Ax^2+Abx+Ac+Bx^2+Cx+Bax+Ca}{x+a}$$
$$=\frac{(A+B)x^2+(Ab+Ba+C)x+Ac+Ca}{x+a}$$
結論：
$$\begin{cases}A+B=d\\Ab+Ba+C=e\\Ac+Ca=f\end{cases}$$
一看到\(\frac{dx^2+ex+f}{(x+a)(x^2+bx+c)}\)，直接聯想d=A+B，e=Ab+Ba+C，f=Ac+Ca。
This article was last edited at 2021-08-21 04:20:36