重現率非常高的9個公式：

1. $${\color{red} \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1}\Longrightarrow\sin x\sim x$$
2. $${\color{red} \lim \limits_{x \to ∞} (1+\frac{1}{x})^x=e}$$
3. $${\color{red} \lim \limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1}\Longrightarrow\tan x\sim x$$
4. $${\color{red}\lim \limits_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}}\Longrightarrow 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$$
5. $${\color{red}\lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1}\Longrightarrow e^x-1 \sim x$$
6. $${\color{red}\lim \limits_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1}\Longrightarrow \ln (1+x) \sim x$$
7. $${\color{red}\lim \limits_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}=1}\Longrightarrow \arctan x \sim x$$
8. $${\color{red}\lim \limits_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}=1}\Longrightarrow \arcsin x \sim x$$
9. $${\color{red}\lim \limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^α-1}{x}=α}\Longrightarrow (1+x)^α-1 \sim αx$$

\(f(x) \sim g(x) \)是等價無窮小的書寫方式 (x→0)。等價無窮小是無窮小之間的一種關系，指的是：在同一自變量的趨向過程中，若兩個無窮小之比的極限為1，則稱這兩個無窮小是等價的。無窮小等價關系刻畫的是兩個無窮小趨向於零的速度是相等的。（換句話説\(\sim \)之間的兩個函數可以等價代換）

紅色部分為主要公式，默認色部分為其推論。

極限的性質：

\(\lim \limits_{x \to a} f(x)=α, \lim \limits_{x \to b} g(x)=β\) 時，

1. $$\lim \limits_{x \to a} [f(x)±g(x)]=α±β$$
2. $$\lim \limits_{x \to a} cf(x)=cα$$
3. $$\lim \limits_{x \to a} [f(x)g(x)]=αβ$$
4. $$\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{α}{β} \;  \; (β≠0)$$

經典例題：

一、求極限\(\lim \limits_{x \to \pi} \frac{\pi-x}{\sin 2x}\) .

[解答]：令t=x-π，當x→π的時候，t→0，因此

$$\lim \limits_{x \to \pi} \frac{\pi-x}{\sin 2x}=\lim \limits_{t \to 0} \frac{-t}{\sin 2(t+\pi)}=\lim \limits_{t \to 0} \frac{-t}{\sin 2t+2\pi}=\lim \limits_{t \to 0} \frac{-t}{\sin 2t}=\lim \limits_{t \to 0} (-\frac{1}{2} \cdot \frac{2t}{\sin 2t})=-\frac{1}{2}\cdot1=-\frac{1}{2}$$

用了（1）公式。

二、求極限\(\lim \limits_{x \to 0} \frac{\tan(\sin x)}{x}\) .

[解答]：

$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\tan(\sin x)}{x}=\lim \limits_{x \to 0} \frac{\tan(\sin x)}{sin x}\cdot \frac{sin x}{x}=1$$

用了（1）（3）兩個公式。

三、求極限\(\lim \limits_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x\log(1+x)}\) .

[解答]：

$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x\log(1+x)}=\lim \limits_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \frac{x}{\ln(1+x)}=\frac{1}{2}\cdot 1=1$$

用了（4）（6）兩個公式。

注意：一般很多論文裏直接用log(x)表示以e為底的對數，即log(x):=ln(x)。但有些計算機類的論文裏會不加說明地用log(x)表示以2為底的對數...

来自 <https://www.zhihu.com/question/271282938> 

四、求極限\(\lim \limits_{x \to 0} (1+2x)^\frac{2}{x}\) .

[解答]：

$$\lim \limits_{x \to 0} (1+2x)^\frac{2}{x}=\lim \limits_{x \to 0} \{(1+2x)^\frac{1}{2x}\}^4=\lim \limits_{x \to 0} \{(1+\frac{1}{\frac{1}{2x}})^\frac{1}{2x}\}^4=e^4$$

用了（2）公式。

前述方法用來解決簡單的極限問題是管用的，但是遇到

$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2-\log(1+x^2)}{x^2\sin^2 x}$$

這樣難點的問題就不適用了。因此，我們需要尋找別的方法。

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