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微分係数と導関数
関数\(y=f(x)\)の微分係数\(f'(x_0)\)は次のように定義される。
$$f'(x_0)=\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
また、ここで、\(\Delta x=x-x_0\)とおくと、
$$f'(x_0)=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
で定義することもできる。それが収束しないならば、微分係数\(f'(x_0)\)は存在しないという。
もし関数\(f(x)\)が\(I\)のどこでも微分可能ならば、\(f(x)\)が\(I\)で微分可能といい、\(f('x)\)で表す。
具体的には、
$$f'(x)=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
で定義される。\(f(x)\)の導関数は、
$$y', f'(x), \frac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}} x}, \frac{{\rm{d} }f(x)}{{\rm{d}} x}$$
のいずれで表されても良い。