基本関数の導関数：
- $$(C)'=0$$
- $$ (x^n)'=nx^{n-1}$$
- $$(\sin x)'=\cos x$$
- $$(\cos x)'=-\sin x$$
- $$(\tan x)'=\sec^2 x$$
- $$(\cot x)'=-\csc^2 x$$
- $$(a^x)'=a^x \ln a$$
- $$(e^x)'=e^x$$
- $$(ln|x|)'=\frac{1}{x}$$
- $$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
- $$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
- $$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$
- $${\color{aqua} (\arccot x )'=-\frac{1}{1+x^2}}$$
- $${\color{aqua} (\sec x)'=\sec x\tan x}$$
- $${\color{aqua} (\csc x)'=-\csc x\cot x}$$
- $${\color{aqua} (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\;\; (a>0, a≠1)}$$
導関数の四則演算：
関数\(f(x), g(x)\)が微分可能なとき、次式が成り立つ。
- $$[kf(x)]'=kf'(x)$$
- $$[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)$$
- $$[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
- $$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$
合成関数の微分：
関数\(y=f(u)， u=g(x)\)が共に微分可能な時、合成関数\(y=f[g(x)]\)も微分可能で、
$$\frac{{\rm {d}} y}{{\rm {d}} x}=f'(u) \cdot g'(x)$$
あるいは
$$\frac{{\rm {d}} y}{{\rm {d}} x}=\frac{{\rm {d}} y}{{\rm {d}} u} \frac{{\rm {d}} u}{{\rm {d}} x}$$
が成り立つ。
陰関数の微分：
方程式\(F(x,y)=0\)より、\(x\)の関数\(y\)が定まる。この関数を\(x\)の陰関数という。
両辺に\(x\)で微分をとって
$$\frac{\rm {d}}{{\rm {d}}x} F(x,y)=0$$
となり、整理して\(\frac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}x}\)が求まる。
隱函數和顯函數是相對的，顯函數是直接有y關於x的表達式，而隱函數沒有，有的只是類似于\(x^2+y^2=1\)的表達式。
次の関数を微分せよ：
（1）\(f(x)=e^{2x}\)
[解答]
ここで、\(y=e^u, u=2x\) とおくと、
$$\frac{{\rm {d}} y}{{\rm {d}} u}=e^u$$
$$\frac{{\rm {d}} u}{{\rm {d}} x}=2$$
より、
$$f'(x)=\frac{{\rm d} y}{{\rm d}x}=\frac{{\rm {d}} y}{{\rm {d}} u} \cdot \frac{{\rm {d}} u}{{\rm {d}} x}=e^u \cdot 2=2e^{2x}$$
（2）\(g(x)=x^x\)
[解答]
\(y=x^x\)とおき、両辺に\(ln\)を取ると、
$$\ln y=x \ln x$$
となる。次に、両辺に\(x\)で微分をとって、
$$\frac{1}{y} \cdot y'=\ln x +1$$
注意，這裏就是合成函數的微分，左邊對y求導之後，又對x求導（對x求導就直接是y'，這一點不用討論，記住就行）。
整理して、
$$g'(x)=y'=y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$$
次の\(x\)の関数\(y\)を微分せよ：
（1）\(\sqrt x+\sqrt y=1\)
[解答]
両辺に\(x\)で微分をとって、
$$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{ {\rm d} y} {{\rm d} x}=0$$
よって、
$$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\sqrt{\frac{y}{x}}$$
となる。
（2）\(xy+\tan y=1 \)
[解答]
両辺に\(x\)で微分をとって、
$$y+xy'+\sec^2 y \cdot y'=0$$
よって、
$$y'=-\frac{y}{x+\sec^2 y}$$
となる。