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微積分前置知識4——高階導関数相關重要公式

高階導関数の求め方

次に、高階導関数の微分公式について紹介する。

関数u(x),v(x)はn階導関数を持つとき、

  1. $$(u±v)^{(n)}=u^{(n)}±v^{(n)}$$
  2. $$(Cu)^{(n)}=Cu^{(n)}$$
  3. ライプニッツの微分公式:$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} $$

その中、$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

そして、

$$u^{(0)}=u, \; v^{(0)}=v$$

排列組合不清楚的話,看這一篇→https://www.v2know.com/MainPage/PreView/850

 

 

関数のn階導関数をまとめる.

  1. $${(x^{\mu})}^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)...(\mu-n+1)x^{\mu-n}$$
  2. $${(e^x)}^{(n)}=e^x$$
  3. $$(\sin x)^{(n)}=\sin (x+n \cdot \frac {\pi}{2})$$
  4. $$(\cos x)^{(n)}=\cos (x+n \cdot \frac {\pi}{2})$$
  5. $$(\frac{1}{a+x})^{(n)}=(-1)^n \frac {n!} {(a+x)^{n+1}}$$
  6. $$(\frac{1}{a-x})^{(n)}=\frac {n!} {(a-x)^{n+1}}$$

例題1

関数\(y=xe^x\)の\({n}\)階導関数\(y^{(n)}\)を求めよ.

[解答]お題より、

\[y'=e^x+xe^x=(x+1)e^x\]

\[y''=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x\]

から、

\[y^{(n)}=(x+n)e^x\]

が推測できる。次に、数学的帰納法を用いて証明する。(もちいて)

(1) n=1の時、

\[y'=(x+1)e^x\]

となるため、結論が成り立つ。

(2) n=kのとき、

\[y^{(k)}=(x+k)e^x\]

とすると、

\[y^{(k+1)}=(y^{(k)})'\]

\[=((x+k)e^x)'\]

\[=e^x+(x+k)e^x\]

\[=(x+k+1)e^x\]

結論が成り立つ。

したがって、

\[y^{(n)}=(x+n)e^x\]

となる。

高階導関数の問題において、数学的帰納法(きのうほう)はよく使われる。

 

例題2

関数\(y=x^2e^{2x}\)の高階導関数\(y^{(20)}\)を求めよ.

[解答]この問題はライプニッツの微分公式を用いて求めてみる。

$$u=e^{2x}, v=x^2$$

とおくと、例題1より、

$$u^{(k)}=2^{k}e^{2x} (k=0, 1, 2, ..., 20)$$

$$v'=2x$$

$$v''=2$$

$$v^{(k)}=0 (k=3,4, ... ,20)$$

となる。よって、

$$y^{(20)}= \sum_{n=0}^{20} C_{20}^k u^{(20-k)} v^{(k)}$$

$$=C_{20}^{0} u^{(20)} v^{(0)}+C_{20}^{1} u^{(19)} v^{(1)}+C_{20}^{2} u^{(18)} v^{(2)}$$

$$=1\cdot2^{20} {e}^{2x} \cdot x^2 + 20 \cdot 2^{19} {e}^{2x} \cdot 2x+190 \cdot 2^{18} e^{2x} \cdot 2$$

$$=2^{20}e^{2x}\cdot(x^2+20x+95)$$

となる。

 

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This article was last edited at 2021-09-05 18:05:00

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