高階導関数の求め方
次に、高階導関数の微分公式について紹介する。
関数u(x)，v(x)はn階導関数を持つとき、
- $$(u±v)^{(n)}=u^{(n)}±v^{(n)}$$
- $$(Cu)^{(n)}=Cu^{(n)}$$
- ライプニッツの微分公式：$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} $$
その中、$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
そして、
$$u^{(0)}=u, \; v^{(0)}=v$$
排列組合不清楚的話，看這一篇→https://www.v2know.com/MainPage/PreView/850
関数のn階導関数をまとめる．
- $${(x^{\mu})}^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)...(\mu-n+1)x^{\mu-n}$$
- $${(e^x)}^{(n)}=e^x$$
- $$(\sin x)^{(n)}=\sin (x+n \cdot \frac {\pi}{2})$$
- $$(\cos x)^{(n)}=\cos (x+n \cdot \frac {\pi}{2})$$
- $$(\frac{1}{a+x})^{(n)}=(-1)^n \frac {n!} {(a+x)^{n+1}}$$
- $$(\frac{1}{a-x})^{(n)}=\frac {n!} {(a-x)^{n+1}}$$
例題１
関数\(y=xe^x\)の\({ｎ}\)階導関数\(y^{(n)}\)を求めよ．
［解答］お題より、
\[y'=e^x+xe^x=(x+1)e^x\]
\[y''=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x\]
から、
\[y^{(n)}=(x+n)e^x\]
が推測できる。次に、数学的帰納法を用いて証明する。(もちいて）
(1) n=1の時、
\[y'=(x+1)e^x\]
となるため、結論が成り立つ。
(2) n=kのとき、
\[y^{(k)}=(x+k)e^x\]
とすると、
\[y^{(k+1)}=(y^{(k)})'\]
\[=((x+k)e^x)'\]
\[=e^x+(x+k)e^x\]
\[=(x+k+1)e^x\]
結論が成り立つ。
したがって、
\[y^{(n)}=(x+n)e^x\]
となる。
高階導関数の問題において、数学的帰納法（きのうほう）はよく使われる。
例題2
関数\(y=x^2e^{2x}\)の高階導関数\(y^{(20)}\)を求めよ．
［解答］この問題はライプニッツの微分公式を用いて求めてみる。
$$u=e^{2x}, v=x^2$$
とおくと、例題１より、
$$u^{(k)}=2^{k}e^{2x} (k=0, 1, 2, ..., 20)$$
$$v'=2x$$
$$v''=2$$
$$v^{(k)}=0 (k=3,4, ... ,20)$$
となる。よって、
$$y^{(20)}= \sum_{n=0}^{20} C_{20}^k u^{(20-k)} v^{(k)}$$
$$=C_{20}^{0} u^{(20)} v^{(0)}+C_{20}^{1} u^{(19)} v^{(1)}+C_{20}^{2} u^{(18)} v^{(2)}$$
$$=1\cdot2^{20} {e}^{2x} \cdot x^2 + 20 \cdot 2^{19} {e}^{2x} \cdot 2x+190 \cdot 2^{18} e^{2x} \cdot 2$$
$$=2^{20}e^{2x}\cdot(x^2+20x+95)$$
となる。