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微積分前置知識5——排列組合

因爲之前出現了萊布尼茨公式:

$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} $$

その中、$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

そして、

$$u^{(0)}=u, \; v^{(0)}=v$$

from: https://www.v2know.com/MainPage/PreView/845

 

這裏有必要説明一下排列組合的符號:

$$C_{n}^{k} \Leftrightarrow \tbinom{n}{k} \Leftrightarrow _{n}C_{k} $$

在寫法上,這三種表達的是同一個意思,都是從n種裏面取出k個有多少種取法。

不用擔心會不讓認識,之所以這麽寫,是因爲大數為底。(即從多的裏面取少的)

大陸教材是喜歡把大數放在C底部,小數放在上方。(日本的教材基本上是這麽寫的:\(_{n}C_{k}\) , 第一次看到可能會感到迷惑)

但是最標準的寫法還是寫成:

$$\tbinom{n}{k}$$

大數在上,小數在下。

其次,説一下計算,

$$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

雖然計算的時候照抄公式就行,但

我們計算的時候,實際思考比這個要簡單,舉個例子:

$$C_{20}^1=\frac{20!}{1! \times 19!}$$

$$C_{20}^2=\frac{20!}{2! \times 18!}$$

$$C_{20}^{18}=\frac{20!}{18! \times 2!}$$

你會發現:

$$C_{20}^2=C_{20}^{18}$$

同時:

$$C_{20}^{20}=C_{20}^0=1$$

$$C_{20}^1=20$$

這一系列的性質。


而且計算的時候,日常有約分:

$$C_{20}^2=\frac{20!}{2! \times 18!}=\frac{20 \times 19}{2 \times 1}=190$$

然後我們再説説排列,

排列的話,一般用3個數有6種排列方式來説明,

$$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$$


$$=\frac{n!}{(n-m)!} \;,\;(大陸教材同樣也是大數為底)$$

舉個例子:

$$A_6^2=6 \times 5 $$

$$A_6^4=6 \times 5 \times 4 \times 3 $$


$$A_6^2=\frac{6!}{4!} $$

$$A_6^4=\frac{6!}{2!} $$

所以計算的時候,一般是看大數和小數,大數代表從哪個數開始,小數代表一共多少個乘數。

比如\(A_6^2\)就是\(6 \times 5\),\(A_6^4\)就是\(6 \times 5 \times 4 \times 3 \)。

而原本的$$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{(n-m)!} \div m!$$

$$=\frac{n!}{m!(n-m)!},其中n≥m。$$

\(A_6^2\)的意義在於,6個數裏面取2個數,算上排列順序,有多少種可能?

\(A_6^4\)的意義在於,6個數裏面取4個數,算上排列順序,有多少種可能?

\(C_6^2\)的意義在於,6個數裏面取2個數,有多少種可能?

\(C_6^4\)的意義在於,6個數裏面取4個數,有多少種可能?


以上内容僅為快速回憶並迅速運用所撰寫。

 

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This article was last edited at 2021-09-05 18:04:50

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