結論而言
「お会計」一般是用於面對面的現金付賬，而且一般是年輕人在用。
「お勘定」也用的非常頻繁，但是一般在回轉壽司店，由於要清點數量，所以是「勘定」。（這個結賬用法比較古老，一般是老人在用）
詳しく
「勘定」には「物の数量を数える」という意味もあるので、回転寿司のような食べた皿の枚数で値段が決まるようなケースでは現在でも「お勘定お願いします(数をかぞえて金額をだす)」と言うこともあります[1]。
「お会計」が対面で料金を支払うこと全般に日常的に使われるイメージ、「お勘定」は、日本料理屋や旅館で使われるような、少し懐かしいイメージがあることばですね。
英語で
「お会計」 is generally used all of situation which people pay money by a hand to a hand.(met directly)
In my opinion, “お勘定” seems a little bit old‐fashioned to me.The word suits a Japanese style eating house or a traditional Japanese inn or a Japanese‐style restaurant. Maybe elder people use it[2].
中国語で
1
中文這邊是區分立場。
「お会计」是店员问客人的。（例如：お会计ですね？）
「お勘定」是客人对店员说的。（例如：こちら524号室の王です。十时にチェックアウトしたいんですが、お勘定をお愿します[3]。）
2
意思一样，但立场不一样。
「お会計」是店员一方说的；
「お勘定、お爱想」是客人一方说的[4]。
我的想法
「お会計をお願いします」很明顯，「お会計」是店員的動作。
既然是店員的動作，由店員來提問并沒有什麽問題，同時客人也可以請求對方這個「お会計」是這個動作。（并不算是從立場區分的）
おまけ
「お愛想」的使用範圍僅在壽司店。
普通は「お会計」を使います。「おあいそ」は、たまにお寿司やさんで使われていますが、使う必要はありません[5]。